problem 1.2 b'

problem12a.typ

@@ -0,0 +1,32 @@
+#import "utils/boxes.typ": *
+#import "utils/macros.typ": *
+#import "@preview/fletcher:0.5.8" as fletcher: diagram, node, edge
+
+= 1.2 (Прямой и обратный образ предпучка).
+
+#addinfobox(title: [Определение предпучка])[
+  Пусть дано топологическое пространство $X$. Рассмотрим топологию на нём как poset и определим poset-категорию $Open(X)$. Тогда предпучок множеств на $X$ есть функтор $cal(F): Open(X)^"op" -> Set$. Отображения $r_(U, V): cal(F)(U) -> cal(F)(V)$ для $V subset U$ называются отображениями ограничения. Пусть дано непрерывное отображение $f: X -> Y$ и предпучки $cal(F)$ на $X$ и $cal(G)$ на $Y$.
+]
+
+#problembox[
+
+  #v(1mm)
+  а) Определим предпучок $f_* cal(F)$ на $Y$ как $f_* cal(F)(U) = cal(F)(f^(-1)(U))$ для открытых $U subset Y$. Отображения ограничения определим как $r_(U, V) := r_(f^(-1)(U), f^(-1)(V))$. Убедитесь, что это предпучок. Этот предпучок называется *прямым образом предпучка* $cal(F)$.
+]
+
+== Решение
+
+Будем обозначать $r^U_V := r_(U,V)$ --- ограничения для $V subset.eq U$.
+
+По непрерывности $f$, $f^(-1)(U) in tau_X$. Тогда $cal(F) (f^(-1)(U))$ определено корректно.
+
+Если $V subset.eq U$, то $f^(-1)(V) subset.eq f^(-1)(U)$:
+$ x in f^(-1)(V) => f(x) in V => f(x) in U => x in f^(-1)(U) $
+
+Тогда отображения $r^(f^(-1)(U))_(f^(-1)(V))$ определены корректно.
+
+#answerbox[
+  #align(center)[
+  $f_* cal(F): Open(Y)^op arrow Set$ --- предпучок
+  ]
+]