problem 1.2.b

problems/problem12b.typ

@@ -3,69 +3,42 @@
 #import "@preview/fletcher:0.5.8" as fletcher: diagram, node, edge
 
 #problembox[
-  б') Пусть даны категории $cal(I), cal(J), cal(C)$. Пусть даны функторы $phi: cal(J) -> cal(I)$, $alpha: cal(I) -> cal(C)$, $beta: cal(I)^"op" -> cal(C)$. Определите естественные морфизмы $colim(alpha compose phi) -> colim(alpha)$ и $lim(beta) -> lim(beta compose phi^"op")$ в предположении, что все пределы существуют. (Это будет на след. лекции, но попробуйте догадаться самостоятельно).
+  б) Определим предпучок $f^+ cal(G)$ на $X$ как $f^+ cal(G)(U) = colim_(f(U) subset W) cal(G)(W)$, где копредел берётся по диаграмме, состоящей из множеств $cal(G)(W)$, стрелки между которыми --- отображения ограничения. Определите отображение ограничения для $f^+ cal(G)$ (используйте пункт б')). Этот предпучок называется *обратным образом предпучка* $cal(G)$.
+]
+
+#addinfobox[
+  Пояснение: для любого $U subset X$ определим полную poset-подкатегорию $C(U)$ в $Open(Y)^"op"$, состоящую из таких открытых $W subset Y$, что $f(U) subset W$. Тогда имеем функтор $alpha(U, cal(G)): C(U) -> Set$, который получается из функтора $cal(G): Open(Y)^"op" -> Set$ ограничением его на $C(U)$. Тогда $f^+ cal(G)(U)$ --- это копредел по $alpha(U, cal(G))$ для открытого $U subset X$.
 ]
 
 == Решение
 
-=== Для копределов
+Будем обозначать $alpha^U_cal(G) := alpha(U, cal(G))$.
 
-Обозначим $iota: alpha ==> colim alpha$, $tau: (alpha compose phi) ==> colim (alpha compose phi)$ --- коконусы.
+Хотим привести это всё к виду $colim(alpha compose phi) -> colim alpha$
 
-Хотим: коконус $psi: (alpha compose phi) ==> colim alpha$.
-Построим его с помощью переиндексации
-$ psi_j := iota_(phi(j)) $
-Очевидно, это коконус.
+Функтор вложения $iota_U: C(U) arrow.hook Open(Y)^op$ просто оставляет объекты и морфизмы на месте. Тогда $alpha^U_cal(G) = cal(G) compose iota_U$. В таком случае ограничения --- это отображения
+$ colim (cal(G) compose iota_U) -> colim (cal(G) compose iota_V), space.quad V subset.eq U $
 
-По универсальному свойству, $forall X in cal(C)$ и коконуса $mu: (alpha compose phi) ==> X$ существует единственное $theta: colim(alpha compose phi) -> X$ т.ч
-$ theta compose tau_(j) = mu_(j) $
+Существует вложение категорий $phi^U_V: C(U) arrow.hook C(V)$.
+$ op("Ob")(C(U)) = {W in tau_Y | f(U) subset.eq W} $
+$ op("Ob")(C(V)) = {Z in tau_Y | f(V) subset.eq Z} $
+Если $f(V) subset.eq f(U)$, а $f(U) subset.eq Z$ для $Z in op("Ob")(C(U))$, то, очевидно, $f(V) subset.eq Z$. Тогда категории вложены.
 
-Пололжим $X = colim alpha, mu = psi$.
-#cdiagram({
-	node((-1, -1), [$alpha(phi(j))$])
-	node((1, 1), [$op("colim") (alpha compose phi)$])
-	node((3, -1), [$alpha (phi(j'))$])
-	node((1, 3), [$op("colim") alpha$])
-	edge((-1, -1), (3, -1), [$alpha(phi(f))$], label-side: left, "->")
-	edge((-1, -1), (1, 1), [$tau_j$], label-side: right, "->")
-	edge((3, -1), (1, 1), [$tau_j'$], label-side: left, "->")
-	edge((-1, -1), (1, 3), [$psi_j$], label-side: left, "->", bend: -30deg)
-	edge((3, -1), (1, 3), [$psi_j'$], label-side: left, "->", bend: 30deg)
-	edge((1, 1), (1, 3), [$theta$], label-side: left, "-->")
-})
+Применим б'), подставляя
+- $cal(J) = C(U)$
+- $cal(I) = C(V)$
+- $cal(C) = Set$
+- $phi = phi^U_V$
+- $alpha = alpha^V_cal(G)$
+
+Тогда существует единственное
+$ colim (alpha^V_cal(G) compose phi^U_V) ->^theta colim(alpha^V_cal(G)) $
+Это равно
+$ colim (alpha^U_cal(G)) ->^theta colim(alpha^V_cal(G)) $
 
 #answerbox[
   #align(center)[
-    Определили $theta: colim (alpha compose phi) -> colim alpha$
-  ]
-]
-
-=== Для пределов
-
-Имеем пределы с их каноническими конусами:
-- $pi: lim beta ==> beta$ для функтора $beta: cal(I)^"op" -> cal(C)$,
-- $q: lim (beta compose phi^"op") ==> (beta compose phi^"op")$ для функтора $beta compose phi^"op": cal(J)^"op" -> cal(C)$.
-
-Построим конус $p: lim beta ==> (beta compose phi^op)$ с помощью переиндексации:
-$ p_j := pi_phi(j) $
-
-Тогда по универсальному свойству предела $lim(beta compose phi^"op")$ существует единственный морфизм $eta: lim beta -> lim (beta compose phi^"op")$, делающий диаграмму коммутативной:
-
-#cdiagram({
-	node((0, 4), [$beta(phi(j))$])
-	node((4, 4), [$beta(phi(j'))$])
-	node((2, 2), [$lim (beta compose phi^"op")$])
-	node((2, 0), [$lim beta$])
-	edge((4, 4), (0, 4), [$beta(phi(f))$], label-side: left, "->")
-	edge((2, 2), (0, 4), [$q_j$], label-side: right, "->")
-	edge((2, 2), (4, 4), [$q_(j')$], label-side: left, "->")
-	edge((2, 0), (2, 2), [$eta$], label-side: right, "-->")
-	edge((2, 0), (0, 4), [$p_j$], label-side: right, "->", bend: -30deg)
-	edge((2, 0), (4, 4), [$p_j'$], label-side: left, "->", bend: 30deg)
-})
-
-#answerbox[
-  #align(center)[
-    Определили $eta: lim beta -> lim (beta compose phi^op)$ 
+    Ограничение определяется как
+    $ theta: f^+ cal(G)(U) -> f^+ cal(G)(V) $
   ]
 ]