#import "../utils/boxes.typ": *
#import "../utils/macros.typ": *
#import "@preview/fletcher:0.5.8" as fletcher: diagram, node, edge

#problembox[
  б) Определим предпучок $f^+ cal(G)$ на $X$ как $f^+ cal(G)(U) = colim_(f(U) subset W) cal(G)(W)$, где копредел берётся по диаграмме, состоящей из множеств $cal(G)(W)$, стрелки между которыми --- отображения ограничения. Определите отображение ограничения для $f^+ cal(G)$ (используйте пункт б')). Этот предпучок называется *обратным образом предпучка* $cal(G)$.
]

#addinfobox[
  Пояснение: для любого $U subset X$ определим полную poset-подкатегорию $C(U)$ в $Open(Y)^"op"$, состоящую из таких открытых $W subset Y$, что $f(U) subset W$. Тогда имеем функтор $alpha(U, cal(G)): C(U) -> Set$, который получается из функтора $cal(G): Open(Y)^"op" -> Set$ ограничением его на $C(U)$. Тогда $f^+ cal(G)(U)$ --- это копредел по $alpha(U, cal(G))$ для открытого $U subset X$.
]

== Решение

Будем обозначать $alpha^U_cal(G) := alpha(U, cal(G))$.

Хотим привести это всё к виду $colim(alpha compose phi) -> colim alpha$

Функтор вложения $iota_U: C(U) arrow.hook Open(Y)^op$ просто оставляет объекты и морфизмы на месте. Тогда $alpha^U_cal(G) = cal(G) compose iota_U$. В таком случае ограничения --- это отображения
$ colim (cal(G) compose iota_U) -> colim (cal(G) compose iota_V), space.quad V subset.eq U $

Существует вложение категорий $phi^U_V: C(U) arrow.hook C(V)$.
$ op("Ob")(C(U)) = {W in tau_Y | f(U) subset.eq W} $
$ op("Ob")(C(V)) = {Z in tau_Y | f(V) subset.eq Z} $
Если $f(V) subset.eq f(U)$, а $f(U) subset.eq Z$ для $Z in op("Ob")(C(U))$, то, очевидно, $f(V) subset.eq Z$. Тогда категории вложены.

Применим б'), подставляя
- $cal(J) = C(U)$
- $cal(I) = C(V)$
- $cal(C) = Set$
- $phi = phi^U_V$
- $alpha = alpha^V_cal(G)$

Тогда существует единственное
$ colim (alpha^V_cal(G) compose phi^U_V) ->^theta colim(alpha^V_cal(G)) $
Это равно
$ colim (alpha^U_cal(G)) ->^theta colim(alpha^V_cal(G)) $

#answerbox[
  #align(center)[
    Ограничение определяется как
    $ theta: f^+ cal(G)(U) -> f^+ cal(G)(V) $
  ]
]