#import "../utils/boxes.typ": *
#import "../utils/macros.typ": *
#import "@preview/fletcher:0.5.8" as fletcher: diagram, node, edge

#problembox[
  б') Пусть даны категории $cal(I), cal(J), cal(C)$. Пусть даны функторы $phi: cal(J) -> cal(I)$, $alpha: cal(I) -> cal(C)$, $beta: cal(I)^"op" -> cal(C)$. Определите естественные морфизмы $colim(alpha compose phi) -> colim(alpha)$ и $lim(beta) -> lim(beta compose phi^"op")$ в предположении, что все пределы существуют. (Это будет на след. лекции, но попробуйте догадаться самостоятельно).
]

== Решение

=== Для копределов

Обозначим $iota: alpha ==> colim alpha$, $tau: (alpha compose phi) ==> colim (alpha compose phi)$ --- коконусы.

Хотим: коконус $psi: (alpha compose phi) ==> colim alpha$.
Построим его с помощью переиндексации
$ psi_j := iota_(phi(j)) $
Очевидно, это коконус.

По универсальному свойству, $forall X in cal(C)$ и коконуса $mu: (alpha compose phi) ==> X$ существует единственное $theta: colim(alpha compose phi) -> X$ т.ч
$ theta compose tau_(j) = mu_(j) $

Пололжим $X = colim alpha, mu = psi$.
#cdiagram({
	node((-1, -1), [$alpha(phi(j))$])
	node((1, 1), [$op("colim") (alpha compose phi)$])
	node((3, -1), [$alpha (phi(j'))$])
	node((1, 3), [$op("colim") alpha$])
	edge((-1, -1), (3, -1), [$alpha(phi(f))$], label-side: left, "->")
	edge((-1, -1), (1, 1), [$tau_j$], label-side: right, "->")
	edge((3, -1), (1, 1), [$tau_j'$], label-side: left, "->")
	edge((-1, -1), (1, 3), [$psi_j$], label-side: left, "->", bend: -30deg)
	edge((3, -1), (1, 3), [$psi_j'$], label-side: left, "->", bend: 30deg)
	edge((1, 1), (1, 3), [$theta$], label-side: left, "-->")
})

#answerbox[
  #align(center)[
    Определили $theta: colim (alpha compose phi) -> colim alpha$
  ]
]

=== Для пределов

Имеем пределы с их каноническими конусами:
- $pi: lim beta ==> beta$ для функтора $beta: cal(I)^"op" -> cal(C)$,
- $q: lim (beta compose phi^"op") ==> (beta compose phi^"op")$ для функтора $beta compose phi^"op": cal(J)^"op" -> cal(C)$.

Построим конус $p: lim beta ==> (beta compose phi^op)$ с помощью переиндексации:
$ p_j := pi_phi(j) $

Тогда по универсальному свойству предела $lim(beta compose phi^"op")$ существует единственный морфизм $eta: lim beta -> lim (beta compose phi^"op")$, делающий диаграмму коммутативной:

#cdiagram({
	node((0, 4), [$beta(phi(j))$])
	node((4, 4), [$beta(phi(j'))$])
	node((2, 2), [$lim (beta compose phi^"op")$])
	node((2, 0), [$lim beta$])
	edge((4, 4), (0, 4), [$beta(phi(f))$], label-side: left, "->")
	edge((2, 2), (0, 4), [$q_j$], label-side: right, "->")
	edge((2, 2), (4, 4), [$q_(j')$], label-side: left, "->")
	edge((2, 0), (2, 2), [$eta$], label-side: right, "-->")
	edge((2, 0), (0, 4), [$p_j$], label-side: right, "->", bend: -30deg)
	edge((2, 0), (4, 4), [$p_j'$], label-side: left, "->", bend: 30deg)
})

#answerbox[
  #align(center)[
    Определили $eta: lim beta -> lim (beta compose phi^op)$ 
  ]
]