#import "utils/boxes.typ": *
#import "utils/macros.typ": *
#import "@preview/fletcher:0.5.8" as fletcher: diagram, node, edge

#problembox[
    б) Пусть на множествах из предыдущего пункта имеется структура кольца (ассоциативного, коммутативного с $1$), а $a(phi_(i, j))$ --- гомоморфизмы колец. Докажите, что на $(product.co_(i in cal(I)) a(i)) \/ ~ $ есть естественная структура кольца (ассоциативного, коммутативного с $1$) такая, что $(product.co_(i in cal(I)) a(i)) \/ ~ $ --- копредел в категории $CRing$ по диаграмме $a: cal(I) -> CRing$.
]

== Решение

Обозначим $S := product.co_i a(i) \/ tilde$, $iota_i: a(i) arrow S, t_i mapsto [t_i]$.
Также обозначим $phi^*_(i,j) := a(phi_(i,j))$

=== Определение операций

Определим операцию сложения на $S$ следующим образом:
$ [t_i] + [t_j] := [phi^*_(i,k)(t_i) + phi^*_(j,k)(t_j)], space.quad [t_i], [t_j] in S $

Так как $cal(I)$ --- фильтрованная категория, такой $k$ существует.

Проверим корректность.
Пусть $t_i in a(i), t_j in a(j)$. Пусть также $t'_i' in a(i'), t'_j' in a(j')$ такие, что $t_i tilde t'_i', t_j tilde t'_j'$.
$ u = phi^*_(i,k)(t_i) + phi^*_(j,k)(t_j) $
$ u' = phi^*_(i',k')(t'_i') + phi^*_(j',k')(t'_j') $

Найдём такой $p in cal(I)$, что образы $u, u'$ в $a(p)$ совпадают.

Для $t_i, t'_i'$ выберем $l in cal(I)$:
$ phi^*_(i,l) (t_i) =_(t_i tilde t'_i') phi^*_(i',l)(t'_i') $
Для $t_j, t'_j'$ выберем $m in cal(I)$:
$ phi^*_(j,m) (t_j) =_(t_j tilde t'_j') phi^*_(j',m)(t'_j') $

По фильтрованности $cal(I)$ существует индекс $p in cal(I)$ такой, что
$ p <= k, space.quad p <= k', space.quad p <= l, space.quad p <= m $

$ phi^*_(k,p)(u) = phi^*_(k,p) lr((phi^*_(i,k)(t_i) + phi^*_(j,k)(t_j)), size: #150%) = $
$ = phi^*_(k,p) lr((phi^*_(i,k)(t_i)), size: #150%) + phi^*_(k,p) lr((phi^*_(j,k)(t_j)), size: #150%) $
$ phi^*_(k,p)(u) = phi^*_(i,p)(t_i) + phi^*_(j,p)(t_j) $

Аналогично получаем
$ phi^*_(k', p)(u') = phi^*_(i', p)(t'_i') + phi^*_(j',p)(t'_j') $

$ phi^*_(i,p)(t_i) = phi^*_(l,p) lr(( phi^*_(i,l)(t_i) ), size: #150%) = phi^*_(l,p) lr(( phi^*_(i',l)(t'_i') ), size: #150%) = phi^*_(i', p)(t'_i') $

Аналогично
$ phi^*_(j,p)(t_j) = phi^*_(j',p)(t'_j') $

Получается, что
$ u tilde u' => [u] = [u'] $

Операция корректна

Нейтральным элементом является $[0]$, т.к. гомоморфизмы сохраняют $0$. Обратным к $[t_i]$ является $[-t_i]$.

Проверим ассоциативность:
$
[t_i] + ([t_j] + [t_k]) = lr(|
  #inlinediag(
    node((0, 0), $j$),
    node((2, 0), $k$),
    node((1, 1), $l$),
    edge((0, 0), (1, 1), "->"),
    edge((2, 0), (1, 1), "->"),
  )
|) = [t_i] + [phi^*_(j,l)(t_j) + phi^*_(k,l)(t_k)] =
$
$
= lr(|
  #inlinediag(
    node((0,0), $i$),
    node((2,0), $j$),
    node((4,0), $k$),
    node((3,1), $l$),
    node((1,3), $m$),
    edge((0,0), (1,3), "->"),
    edge((2,0), (1,3), "->"),
    edge((2,0), (3,1), "->"),
    edge((2,0), (3,1), "->"),
    edge((4,0), (3,1), "->"),
    edge((3,1), (1,3), "->"),
  )
|) = [ phi^*_(i,m)(t_i) + phi^*_(j,m)(t_j) + phi^*_(k,m)(t_k) ]
$

С другой стороны
$
([t_i] + [t_j]) + [t_k] = lr(|
  #inlinediag(
    node((0,0), $i$),
    node((2,0), $j$),
    node((1,1), $m$),
    edge((0,0), (1,1), "->"),
    edge((2,0), (1,1), "->")
  )
|) = [phi^*_(i,m)(t_i) + phi^*_(j,m)(t_j)] + [t_k] =
$
$
 = lr(|
  #inlinediag(
    node((0,0), $i$),
    node((1,0), $j$),
    node((2,0), $k$),
    node((1,1), $m$),
    edge((0,0), (1,1), "->"),
    edge((1,0), (1,1), "->"),
    edge((2,0), (1,1), "->"),
  )
|) = [phi^*_(i,m)(t_i) + phi^*_(j,m)(t_j) + phi^*_(k,m)(t_k)]
$

Коммутативность следует из коммутативность колец.

Операцию умножения определим тем же образом:
$ [t_i] dot [t_j] = [phi^*_(i,k)(t_i) dot phi^*_(j,k)(t_j)] $

Она корректна по тем же соображениям.

Нейтральным элементом является $[1]$, т.к. гомоморфизмы в $CRing$ сохраняют единицу.
Дистрибутивность следует также из свойств гомоморфизма.

Таким образом, на $S$ есть структура коммутативного кольца с единицей.

=== Проверка коконуса

Пусть $t, t' in a(i)$.
$ iota_i (t + t') = [t + t'] $
$
iota_i (t) + iota_i (t') = [t] + [t'] = lr(
  | phi^*_(i,i) = 1_(a(i))
|) = [t + t']
$
$ iota_i (t + t') = iota_i (t) + iota_i (t') $
$ iota_i (0_i) = [0] space.quad "все нули эквивалентны" $

$ iota_i (t dot t') = [t dot t'] $
$
iota_i (t) dot iota_i (t') = [t] dot [t'] = lr(|
  phi_(i,i) = 1_(a(i))
|) = [t dot t']
$
$ iota_i (t dot t') = iota_i (t) dot iota_i (t') $


$ iota_i (1_(a_i)) = [1] space.quad "все единицы эквивалентны" $

Тогда $iota: a ==> S$ - коконус в $CRing$.

=== Универсальное свойство

Пусть $X in CRing$, $mu: a ==> X$ --- коконус.
Хотим: единственный гомоморфизм $theta: S arrow X$. Определим, как и раньше
$ theta([t_i]) := mu_i (t_i) $

Проверим свойства гомоморфизма. Пусть $t_i in a(i), t_j in a(j)$:
$ theta lr( ([phi^*_(i,k)(t_i) + phi^*_(j,k)(t_j)]), size: #150%) = mu_k (phi^*_(i,k)(t_i)) + mu_k (phi^*_(j,k)(t_j)) = $
$ =_("По свойствам коконуса") mu_i (t_i) + mu_j (t_j)  = theta([t_i]) + theta([t_j]) $

Аналогично
$ theta lr( ([phi^*_(i,k)(t_i) dot phi^*_(j,k)(t_j)]) , size: #150%) = mu_i (t_i) dot mu_j (t_j) = theta([t_i]) dot theta([t_j]) $

Очевидно сохранение единицы:
$ theta([1_i]) = mu_i (1_i) = 1_X, space.quad 1_i in a(i) $

Тогда $theta: S arrow X$ определена корректно.

#answerbox[
  #align(center)[
  $product.co_i a(i) \/ tilde space = colim a$ в $CRing$]
]