#import "utils/boxes.typ": *
#import "utils/macros.typ": *
#import "@preview/fletcher:0.5.8" as fletcher: diagram, node, edge

= 1.2 (Прямой и обратный образ предпучка).

#addinfobox(title: [Определение предпучка])[
  Пусть дано топологическое пространство $X$. Рассмотрим топологию на нём как poset и определим poset-категорию $Open(X)$. Тогда предпучок множеств на $X$ есть функтор $cal(F): Open(X)^"op" -> Set$. Отображения $r_(U, V): cal(F)(U) -> cal(F)(V)$ для $V subset U$ называются отображениями ограничения. Пусть дано непрерывное отображение $f: X -> Y$ и предпучки $cal(F)$ на $X$ и $cal(G)$ на $Y$.
]

#problembox[

  #v(1mm)
  а) Определим предпучок $f_* cal(F)$ на $Y$ как $f_* cal(F)(U) = cal(F)(f^(-1)(U))$ для открытых $U subset Y$. Отображения ограничения определим как $r_(U, V) := r_(f^(-1)(U), f^(-1)(V))$. Убедитесь, что это предпучок. Этот предпучок называется *прямым образом предпучка* $cal(F)$.
]

== Решение

Будем обозначать $r^U_V := r_(U,V)$ --- ограничения для $V subset.eq U$.

По непрерывности $f$, $f^(-1)(U) in tau_X$. Тогда $cal(F) (f^(-1)(U))$ определено корректно.

Если $V subset.eq U$, то $f^(-1)(V) subset.eq f^(-1)(U)$:
$ x in f^(-1)(V) => f(x) in V => f(x) in U => x in f^(-1)(U) $

Тогда отображения $r^(f^(-1)(U))_(f^(-1)(V))$ определены корректно.

#answerbox[
  #align(center)[
  $f_* cal(F): Open(Y)^op arrow Set$ --- предпучок
  ]
]