#import "../utils/boxes.typ": *
#import "../utils/macros.typ": *
#import "@preview/fletcher:0.5.8" as fletcher: diagram, node, edge

= 1.1 (Фильтрованные копределы в алгебраических категориях).

#problembox[

  а) Пусть дана фильтрованная poset-категория $cal(I)$ (т.\,е. для $i >= j$ имеем стрелку $phi_(i, j): i -> j$) и функтор $a: cal(I) -> bold("Set")$. Определим на $product.co_(i in I) a(i)$ следующее отношение эквивалентности:
  $ a(i) in.rev t_i ~ t_j in a(j) <==> exists k in cal(I), i >= k, j >= k, "т. ч." a(phi_(i, k))(t_i) = a(phi_(j, k))(t_j) $

  Проверить, что это отношение эквивалентности и что $(product.co_(i in I) a(i)) \/ ~ $ есть  $colim_i a$.

]

== Решение

=== Отношение эквивалентности

+ *Рефлексивность*. Для $t_i$ можно выбрать $k = i$, т.к. $i >= i$. Тогда $ t_i tilde t_i $
+ *Симметричность*. Если $t_i tilde t_j$, то существует такое $k in cal(I)$, что $i >= k, j >= k$ и $a(phi_(i,k))(t_i) = a(phi_(j,k))(t_j)$. \
  Если же $t_j tilde t_i$, то существует такое $l in cal(I)$, что $j >= l, i >= l$ и $a(phi_(j,k))(t_j) = a(phi_(i,k))(t_i)$. Положим $l = k$ --- симметричность выполнена.
+ Пусть $t_i tilde t_j, t_j tilde t_k$, тогда существуют $l, m in cal(I)$ такие, что $i >= l, j >= l$ и $j >= m, k >= m$ и соответствующие образы равны. \
  Так как $cal(I)$ - фильтрованная poset-категория, то существует $n in cal(I)$ такой, что $l >= n, m >= n$.
  Рассмотрим диаграмму

  #cdiagram({
    node((-2, -1), [$a(i)$])
    node((0, 1), [$a(l)$])
    node((2, -1), [$a(j)$])
    node((4, 1), [$a(m)$])
    node((6, -1), [$a(k)$])
    node((2, 3), [$a(n)$])
    edge((-2, -1), (0, 1), [$a(phi_(i,l))$], label-side: right, "->")
    edge((2, -1), (0, 1), [$a(phi_(j,l))$], label-side: left, "->")
    edge((2, -1), (4, 1), [$a(phi_(j,m))$], label-side: right, "->")
    edge((6, -1), (4, 1), [$a(phi_(k,m))$], label-side: left, "->")
    edge((0, 1), (2, 3), [$a(phi_(l,n))$], label-side: right, "->")
    edge((4, 1), (2, 3), [$a(phi_(m,n))$], label-side: left, "->")
  })

  Имеем
  $ a(phi_(i,l))(t_i) = a(phi_(j,l))(t_j) $
  Применяя $a(phi_(l,n))$, имеет
  $ a(phi_(l,n) compose phi_(i,l)) (t_i) = a(phi_(l,n) compose phi_(j,l))(t_j) $
  По свойствам poset-категории существует единственные морфизмы $i arrow n$ и $j arrow n$:
  $ a(phi_(i,n))(t_i) = a(phi_(j,n))(t_j) $
  Аналогично для $k arrow n$. Тогда
  $ a(phi_(i,n))(t_i) = a(phi_(j,n))(t_j) = a(phi_(k,n))(t_k) $

  Имеем
  $ t_i tilde t_k $

=== Копредел

Обозначим $S := product.co_i a(i) \/ tilde$, $iota_i: a(i) arrow.twohead S, t_i mapsto [t_i]$.
#cdiagram({
	node((0, 0), [$a(i)$])
	node((2, 2), [$S$])
	node((4, 0), [$a(j)$])
	edge((0, 0), (4, 0), [$a(phi_(i,j))$], label-side: left, "->")
	edge((0, 0), (2, 2), [$iota_i$], label-side: right, "->")
	edge((4, 0), (2, 2), [$iota_j$], label-side: left, "->")
})

Пусть $u := a(phi_(i,j))(t_i)$. Проверим $ [u] =^? [t_i]. $
Эти два элемента эквивалентны тогда и только тогда, когда существует $k in cal(I)$ такой, что $i >= k, j >= k$. Положим $k = j$. По определению $phi_(i,j)$ имеем $i >= j$ и $j >= j$ (отображение $a(phi_(j,j)) = 1_(a(j))$), а по определению $u = a(phi_(i,j))(t_i)$. Получаем
$ u = a(phi_(i,j))(t_i) => u tilde t_i => [u] = [t_i] $

Тогда
$ iota_j compose a(phi_(i,j)) = iota_i $

В таком случае, ${iota_i: a(i) arrow.twohead S}_(i in cal(I))$ -- коконус.

Пусть $X in bold("Set")$ и ${mu_i: a(i) arrow X}_(i in cal(I))$ -- коконус.
Хотим: единственное $theta: S arrow X$ такое, что $ theta compose iota_i = mu_i $

#cdiagram({
	node((0, 0), [$a(i)$])
	node((2, 2), [$S$])
	node((4, 0), [$a(j)$])
	node((2, 4), [$X$])
	edge((0, 0), (4, 0), [$a(phi_(i,j))$], label-side: left, "->")
	edge((0, 0), (2, 2), [$iota_i$], label-side: right, "->")
	edge((4, 0), (2, 2), [$iota_j$], label-side: left, "->")
	edge((4, 0), (2, 4), [$mu_j$], label-side: left, "->", bend: 30deg)
	edge((0, 0), (2, 4), [$mu_i$], label-side: right, "->", bend: -30deg)
	edge((2, 2), (2, 4), [$theta$], label-side: right, "-->")
})

Положим $theta([t_i]) := mu_i (t_i)$.
Проверим корректность. \
Пусть $t_i tilde t_j => [t_i] = [t_j]$.
$ mu_i (t_i) =^? mu_j (t_j) $

Существует $k in cal(I)$ такое, что $i >= k, j >= k$ и соответствующие образы равны. Тогда, так как $mu$ - коконус, верно
$ mu_k compose a(phi_(i,k))(t_i) = mu_i (t_i) $
$ mu_k compose a(phi_(j,k))(t_j) = mu_j (t_j) $

Отсюда $mu_i (t_i) = mu_j (t_j)$.

Тогда 
#answerbox[$ product.co_i a(i) \/ tilde space = colim_i a $]