72 lines
3.4 KiB
Typst
72 lines
3.4 KiB
Typst
#import "../utils/boxes.typ": *
|
||
#import "../utils/macros.typ": *
|
||
#import "@preview/fletcher:0.5.8" as fletcher: diagram, node, edge
|
||
|
||
#problembox[
|
||
б') Пусть даны категории $cal(I), cal(J), cal(C)$. Пусть даны функторы $phi: cal(J) -> cal(I)$, $alpha: cal(I) -> cal(C)$, $beta: cal(I)^"op" -> cal(C)$. Определите естественные морфизмы $colim(alpha compose phi) -> colim(alpha)$ и $lim(beta) -> lim(beta compose phi^"op")$ в предположении, что все пределы существуют. (Это будет на след. лекции, но попробуйте догадаться самостоятельно).
|
||
]
|
||
|
||
== Решение
|
||
|
||
=== Для копределов
|
||
|
||
Обозначим $iota: alpha ==> colim alpha$, $tau: (alpha compose phi) ==> colim (alpha compose phi)$ --- коконусы.
|
||
|
||
Хотим: коконус $psi: (alpha compose phi) ==> colim alpha$.
|
||
Построим его с помощью переиндексации
|
||
$ psi_j := iota_(phi(j)) $
|
||
Очевидно, это коконус.
|
||
|
||
По универсальному свойству, $forall X in cal(C)$ и коконуса $mu: (alpha compose phi) ==> X$ существует единственное $theta: colim(alpha compose phi) -> X$ т.ч
|
||
$ theta compose tau_(j) = mu_(j) $
|
||
|
||
Пололжим $X = colim alpha, mu = psi$.
|
||
#cdiagram({
|
||
node((-1, -1), [$alpha(phi(j))$])
|
||
node((1, 1), [$op("colim") (alpha compose phi)$])
|
||
node((3, -1), [$alpha (phi(j'))$])
|
||
node((1, 3), [$op("colim") alpha$])
|
||
edge((-1, -1), (3, -1), [$alpha(phi(f))$], label-side: left, "->")
|
||
edge((-1, -1), (1, 1), [$tau_j$], label-side: right, "->")
|
||
edge((3, -1), (1, 1), [$tau_j'$], label-side: left, "->")
|
||
edge((-1, -1), (1, 3), [$psi_j$], label-side: left, "->", bend: -30deg)
|
||
edge((3, -1), (1, 3), [$psi_j'$], label-side: left, "->", bend: 30deg)
|
||
edge((1, 1), (1, 3), [$theta$], label-side: left, "-->")
|
||
})
|
||
|
||
#answerbox[
|
||
#align(center)[
|
||
Определили $theta: colim (alpha compose phi) -> colim alpha$
|
||
]
|
||
]
|
||
|
||
=== Для пределов
|
||
|
||
Имеем пределы с их каноническими конусами:
|
||
- $pi: lim beta ==> beta$ для функтора $beta: cal(I)^"op" -> cal(C)$,
|
||
- $q: lim (beta compose phi^"op") ==> (beta compose phi^"op")$ для функтора $beta compose phi^"op": cal(J)^"op" -> cal(C)$.
|
||
|
||
Построим конус $p: lim beta ==> (beta compose phi^op)$ с помощью переиндексации:
|
||
$ p_j := pi_phi(j) $
|
||
|
||
Тогда по универсальному свойству предела $lim(beta compose phi^"op")$ существует единственный морфизм $eta: lim beta -> lim (beta compose phi^"op")$, делающий диаграмму коммутативной:
|
||
|
||
#cdiagram({
|
||
node((0, 4), [$beta(phi(j))$])
|
||
node((4, 4), [$beta(phi(j'))$])
|
||
node((2, 2), [$lim (beta compose phi^"op")$])
|
||
node((2, 0), [$lim beta$])
|
||
edge((4, 4), (0, 4), [$beta(phi(f))$], label-side: left, "->")
|
||
edge((2, 2), (0, 4), [$q_j$], label-side: right, "->")
|
||
edge((2, 2), (4, 4), [$q_(j')$], label-side: left, "->")
|
||
edge((2, 0), (2, 2), [$eta$], label-side: right, "-->")
|
||
edge((2, 0), (0, 4), [$p_j$], label-side: right, "->", bend: -30deg)
|
||
edge((2, 0), (4, 4), [$p_j'$], label-side: left, "->", bend: 30deg)
|
||
})
|
||
|
||
#answerbox[
|
||
#align(center)[
|
||
Определили $eta: lim beta -> lim (beta compose phi^op)$
|
||
]
|
||
]
|